Estadísticas

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Los diagramas de dispersión se utilizan en estadísticas descriptivas para mostrar las relaciones observadas entre diferentes variables, aquí utilizando el conjunto de datos de flores de Iris .

La estadística es la disciplina que se ocupa de la recopilación, organización, análisis, interpretación y presentación de datos . [1] [2] [3] Al aplicar la estadística a un problema científico, industrial o social, es convencional comenzar con una población estadística o un modelo estadístico a estudiar. Las poblaciones pueden ser diversos grupos de personas u objetos, como "todas las personas que viven en un país" o "cada átomo que compone un cristal". La estadística se ocupa de todos los aspectos de los datos, incluida la planificación de la recopilación de datos en términos del diseño de encuestas y experimentos . [4]

Cuando no se pueden recopilar datos del censo , los estadísticos recopilan datos mediante el desarrollo de diseños de experimentos específicos y muestras de encuestas . El muestreo representativo asegura que las inferencias y conclusiones puedan extenderse razonablemente de la muestra a la población en su conjunto. Un estudio experimental implica tomar medidas del sistema en estudio, manipular el sistema y luego tomar medidas adicionales utilizando el mismo procedimiento para determinar si la manipulación ha modificado los valores de las medidas. Por el contrario, un estudio observacional no implica manipulación experimental.

En el análisis de datos se utilizan dos métodos estadísticos principales : la estadística descriptiva , que resume los datos de una muestra mediante índices como la media o la desviación estándar , y la estadística inferencial , que extrae conclusiones de los datos sujetos a variación aleatoria (p. Ej., Errores de observación, variación de muestreo). [5] Las estadísticas descriptivas suelen estar relacionadas con dos conjuntos de propiedades de una distribución (muestra o población): la tendencia central (o ubicación ) busca caracterizar el valor central o típico de la distribución, mientras que la dispersión (ovariabilidad ) caracteriza la medida en que los miembros de la distribución se apartan de su centro y entre sí. Las inferencias sobre estadística matemática se realizan en el marco de la teoría de la probabilidad , que se ocupa del análisis de fenómenos aleatorios.

Un procedimiento estadístico estándar implica la recopilación de datos que conducen a probar la relación entre dos conjuntos de datos estadísticos, o un conjunto de datos y datos sintéticos extraídos de un modelo idealizado. Se propone una hipótesis para la relación estadística entre los dos conjuntos de datos, y esto se compara como una alternativa a una hipótesis nula idealizada de no relación entre dos conjuntos de datos. El rechazo o refutación de la hipótesis nula se realiza mediante pruebas estadísticas que cuantifican el sentido en que se puede probar que la nula es falsa, dados los datos que se utilizan en la prueba. Trabajando a partir de una hipótesis nula, se reconocen dos formas básicas de error: errores de tipo I (la hipótesis nula se rechaza falsamente dando un "falso positivo") yErrores de tipo II (la hipótesis nula no se rechaza y se pasa por alto una relación real entre poblaciones dando un "falso negativo"). [6] Se han asociado múltiples problemas con este marco, que van desde obtener un tamaño de muestra suficiente hasta especificar una hipótesis nula adecuada. [ cita requerida ]

Los procesos de medición que generan datos estadísticos también están sujetos a error. Muchos de estos errores se clasifican como aleatorios (ruido) o sistemáticos ( sesgo ), pero también pueden ocurrir otros tipos de errores (p. Ej., Desatino, como cuando un analista informa unidades incorrectas). La presencia de datos faltantes o censura puede resultar en estimaciones sesgadas y se han desarrollado técnicas específicas para abordar estos problemas.

Introducción [ editar ]

La estadística es un cuerpo matemático de la ciencia que pertenece a la recopilación, análisis, interpretación o explicación y presentación de datos , [7] o como una rama de las matemáticas . [8] Algunos consideran que la estadística es una ciencia matemática distinta en lugar de una rama de las matemáticas. Si bien muchas investigaciones científicas utilizan datos, las estadísticas se preocupan por el uso de datos en el contexto de la incertidumbre y la toma de decisiones frente a la incertidumbre. [9] [10]

Al aplicar la estadística a un problema, es una práctica común comenzar con una población o proceso a estudiar. Las poblaciones pueden ser temas diversos como "todas las personas que viven en un país" o "cada átomo que compone un cristal". Idealmente, los estadísticos compilan datos sobre toda la población (una operación llamada censo ). Esto puede ser organizado por institutos de estadística gubernamentales. Se pueden utilizar estadísticas descriptivas para resumir los datos de población. Los descriptores numéricos incluyen la media y la desviación estándar para datos continuos (como ingresos), mientras que la frecuencia y el porcentaje son más útiles en términos de describir datos categóricos (como educación).

Cuando un censo no es factible, se estudia un subconjunto elegido de la población llamado muestra . Una vez que se determina una muestra que es representativa de la población, se recopilan datos para los miembros de la muestra en un entorno de observación o experimental . Nuevamente, se pueden utilizar estadísticas descriptivas para resumir los datos de la muestra. Sin embargo, extraer la muestra contiene un elemento de aleatoriedad; por tanto, los descriptores numéricos de la muestra también son propensos a la incertidumbre. Para sacar conclusiones significativas sobre toda la población, se necesitan estadísticas inferenciales . Utiliza patrones en los datos de la muestra para hacer inferencias sobre la población representada mientras se tiene en cuenta la aleatoriedad. Estas inferencias pueden tomar la forma de responder preguntas de sí / no sobre los datos (prueba de hipótesis ), estimando características numéricas de los datos ( estimación ), describiendo asociaciones dentro de los datos ( correlación ) y modelando relaciones dentro de los datos (por ejemplo, usando análisis de regresión ). La inferencia puede extenderse al pronóstico , la predicción y la estimación de valores no observados en la población que se está estudiando o asociados con ella. Puede incluir extrapolación e interpolación de series de tiempo o datos espaciales y minería de datos .

Estadística matemática [ editar ]

La estadística matemática es la aplicación de las matemáticas a la estadística. Las técnicas matemáticas utilizadas para esto incluyen análisis matemático , álgebra lineal , análisis estocástico , ecuaciones diferenciales y teoría de la probabilidad de la teoría de medidas . [11] [12]

Historia [ editar ]

Gerolamo Cardano , pionero en las matemáticas de la probabilidad.

Los primeros escritos sobre la interferencia estadística se remontan a los matemáticos y criptógrafos árabes , durante la Edad de Oro islámica entre los siglos VIII y XIII. Al-Khalil (717–786) escribió el Libro de mensajes criptográficos , que contiene el primer uso de permutaciones y combinaciones , para enumerar todas las palabras árabes posibles con y sin vocales. [13] En su libro, Manuscrito sobre el descifrado de mensajes criptográficos, Al-Kindi dio una descripción detallada de cómo utilizar el análisis de frecuencia para descifrar mensajes cifradosmensajes. Al-Kindi también hizo el primer uso conocido de inferencia estadística , mientras que él y los criptógrafos árabes posteriores desarrollaron los primeros métodos estadísticos para decodificar mensajes cifrados. Ibn Adlan (1187-1268) hizo más tarde una contribución importante sobre el uso del tamaño de la muestra en el análisis de frecuencia. [13]

Los primeros escritos europeos sobre estadística se remontan a 1663, con la publicación de Observaciones naturales y políticas sobre los proyectos de ley de mortalidad de John Graunt . [14] Las primeras aplicaciones de pensamiento estadístico girado en torno a las necesidades de los estados a la política de base en los datos demográficos y económicos, de ahí su stat- etimología . El alcance de la disciplina de la estadística se amplió a principios del siglo XIX para incluir la recopilación y el análisis de datos en general. Hoy en día, las estadísticas se emplean ampliamente en el gobierno, los negocios y las ciencias naturales y sociales.

Los fundamentos matemáticos de la estadística moderna se establecieron en el siglo XVII con el desarrollo de la teoría de la probabilidad por Gerolamo Cardano , Blaise Pascal y Pierre de Fermat . La teoría matemática de la probabilidad surgió del estudio de los juegos de azar , aunque el concepto de probabilidad ya fue examinado en el derecho medieval y por filósofos como Juan Caramuel . [15] El método de mínimos cuadrados fue descrito por primera vez por Adrien-Marie Legendre en 1805.

Karl Pearson , fundador de la estadística matemática.

El campo moderno de la estadística surgió a finales del siglo XIX y principios del XX en tres etapas. [16] La primera ola, a principios de siglo, fue liderada por el trabajo de Francis Galton y Karl Pearson , quienes transformaron la estadística en una disciplina matemática rigurosa utilizada para el análisis, no solo en la ciencia, sino también en la industria y la política. . Las contribuciones de Galton incluyeron la introducción de los conceptos de desviación estándar , correlación , análisis de regresión y la aplicación de estos métodos al estudio de la variedad de características humanas: altura, peso, longitud de las pestañas, entre otras. [17] Pearson desarrolló elCoeficiente de correlación producto-momento de Pearson , definido como producto-momento, [18] el método de momentos para el ajuste de distribuciones a muestras y la distribución de Pearson , entre muchas otras cosas. [19] Galton y Pearson fundaron Biometrika como la primera revista de estadística matemática y bioestadística (entonces llamada biometría), y esta última fundó el primer departamento de estadística universitaria del mundo en el University College London . [20]

Ronald Fisher acuñó el término hipótesis nula durante el experimento Lady degustación de té , que "nunca se prueba ni se establece, pero posiblemente se refuta, en el curso de la experimentación". [21] [22]

La segunda ola de las décadas de 1910 y 20 fue iniciada por William Sealy Gosset y alcanzó su culminación en las ideas de Ronald Fisher , quien escribió los libros de texto que definirían la disciplina académica en las universidades de todo el mundo. Las publicaciones más importantes de Fisher fueron su artículo seminal de 1918 La correlación entre parientes sobre la suposición de la herencia mendeliana (que fue el primero en usar el término estadístico varianza ), su obra clásica de 1925 Métodos estadísticos para investigadores y su El diseño de experimentos de 1935 , [23] [24] [25] donde desarrolló un riguroso diseño de experimentosmodelos. Él originó los conceptos de suficiencia , estadísticas auxiliares , discriminador lineal de Fisher e información de Fisher . [26] En su libro de 1930 The Genetical Theory of Natural Selection , aplicó la estadística a varios conceptos biológicos como el principio de Fisher [27] (que AWF Edwards llamó "probablemente el argumento más célebre en biología evolutiva ") y Fisherian fugitivo , [28] ] [29] [30] [31] [32] [33] un concepto enselección sexual sobre un afecto descontrolado de retroalimentación positiva que se encuentra en la evolución .

La ola final, que vio principalmente el refinamiento y la expansión de desarrollos anteriores, surgió del trabajo colaborativo entre Egon Pearson y Jerzy Neyman en la década de 1930. Introdujeron los conceptos de error " Tipo II ", potencia de una prueba e intervalos de confianza . Jerzy Neyman en 1934 mostró que el muestreo aleatorio estratificado era en general un mejor método de estimación que el muestreo intencional (por cuotas). [34]

Hoy en día, los métodos estadísticos se aplican en todos los campos que involucran la toma de decisiones, para hacer inferencias precisas a partir de un conjunto de datos recopilados y para tomar decisiones frente a la incertidumbre basada en la metodología estadística. El uso de computadoras modernas ha acelerado los cálculos estadísticos a gran escala y también ha hecho posibles nuevos métodos que no son prácticos para realizar manualmente. La estadística sigue siendo un área de investigación activa, por ejemplo, sobre el problema de cómo analizar big data . [35]

Datos estadísticos [ editar ]

Recolección de datos [ editar ]

Muestreo [ editar ]

Cuando no se pueden recopilar datos completos del censo, los estadísticos recopilan datos de muestra mediante el desarrollo de diseños de experimentos específicos y muestras de encuestas . La propia estadística también proporciona herramientas para la predicción y el pronóstico a través de modelos estadísticos .

Para utilizar una muestra como guía para toda una población, es importante que realmente represente a la población en general. El muestreo representativo asegura que las inferencias y conclusiones puedan extenderse con seguridad de la muestra a la población en su conjunto. Un problema importante radica en determinar hasta qué punto la muestra elegida es realmente representativa. Estadísticas ofrece métodos para estimar y corregir cualquier sesgo dentro de los procedimientos de recolección de datos y muestra. También existen métodos de diseño experimental para experimentos que pueden disminuir estos problemas al comienzo de un estudio, fortaleciendo su capacidad para discernir verdades sobre la población.

La teoría del muestreo es parte de la disciplina matemática de la teoría de la probabilidad . La probabilidad se utiliza en estadística matemática para estudiar las distribuciones de muestreo de estadísticas de la muestra y, más en general, las propiedades de procedimientos estadísticos . El uso de cualquier método estadístico es válido cuando el sistema o la población en consideración satisface los supuestos del método. La diferencia de punto de vista entre la teoría clásica de la probabilidad y la teoría del muestreo es, aproximadamente, que la teoría de la probabilidad parte de los parámetros dados de una población total para deducirprobabilidades que pertenecen a las muestras. La inferencia estadística, sin embargo, se mueve en la dirección opuesta: inferir inductivamente de muestras a los parámetros de una población mayor o total.

Estudios experimentales y observacionales [ editar ]

Un objetivo común de un proyecto de investigación estadística es investigar la causalidad y, en particular, sacar una conclusión sobre el efecto de los cambios en los valores de los predictores o variables independientes sobre las variables dependientes . Hay dos tipos principales de estudios estadísticos causales: estudios experimentales y estudios observacionales.. En ambos tipos de estudios se observa el efecto de las diferencias de una variable independiente (o variables) sobre el comportamiento de la variable dependiente. La diferencia entre los dos tipos radica en cómo se realiza realmente el estudio. Cada uno puede ser muy eficaz. Un estudio experimental implica tomar medidas del sistema en estudio, manipular el sistema y luego tomar medidas adicionales utilizando el mismo procedimiento para determinar si la manipulación ha modificado los valores de las medidas. Por el contrario, un estudio observacional no implica manipulación experimental . En cambio, se recopilan datos y se investigan las correlaciones entre los predictores y la respuesta. Si bien las herramientas de análisis de datos funcionan mejor con datos de estudios aleatorizados, también se aplican a otros tipos de datos, como experimentos naturales y estudios de observación [36], para los cuales un estadístico usaría un método de estimación modificado y más estructurado (por ejemplo, estimación de diferencias en diferencias y variables instrumentales , entre muchos otros) que producir estimadores consistentes .

Experimentos [ editar ]

Los pasos básicos de un experimento estadístico son:

  1. Planificar la investigación, incluida la búsqueda del número de réplicas del estudio, utilizando la siguiente información: estimaciones preliminares con respecto al tamaño de los efectos del tratamiento , hipótesis alternativas y la variabilidad experimental estimada . Es necesario considerar la selección de sujetos experimentales y la ética de la investigación. Los estadísticos recomiendan que los experimentos comparen (al menos) un tratamiento nuevo con un tratamiento o control estándar, para permitir una estimación no sesgada de la diferencia en los efectos del tratamiento.
  2. Diseño de experimentos , utilizando bloqueos para reducir la influencia de las variables de confusión y asignación aleatoria de tratamientos a los sujetos para permitir estimaciones no sesgadas de los efectos del tratamiento y el error experimental. En esta etapa, los experimentadores y estadísticos redactan el protocolo experimental que guiará el desempeño del experimento y que especifica el análisis primario de los datos experimentales.
  3. Realización del experimento siguiendo el protocolo experimental y analizando los datos siguiendo el protocolo experimental.
  4. Examinar más a fondo el conjunto de datos en análisis secundarios, para sugerir nuevas hipótesis para estudios futuros.
  5. Documentar y presentar los resultados del estudio.

Los experimentos sobre el comportamiento humano tienen preocupaciones especiales. El famoso estudio de Hawthorne examinó los cambios en el entorno de trabajo en la planta Hawthorne de Western Electric Company . Los investigadores estaban interesados ​​en determinar si una mayor iluminación aumentaría la productividad de los trabajadores de la línea de montaje . Los investigadores primero midieron la productividad en la planta, luego modificaron la iluminación en un área de la planta y verificaron si los cambios en la iluminación afectaban la productividad. Resultó que la productividad realmente mejoró (en las condiciones experimentales). Sin embargo, el estudio es muy criticado hoy por errores en los procedimientos experimentales, específicamente por la falta de un grupo de control yceguera . El efecto Hawthorne se refiere a encontrar que un resultado (en este caso, la productividad del trabajador) cambió debido a la observación misma. Aquellos en el estudio de Hawthorne se volvieron más productivos no porque se cambiara la iluminación, sino porque estaban siendo observados. [37]

Estudio observacional [ editar ]

Un ejemplo de un estudio observacional es el que explora la asociación entre el tabaquismo y el cáncer de pulmón. Este tipo de estudio generalmente utiliza una encuesta para recopilar observaciones sobre el área de interés y luego realiza un análisis estadístico. En este caso, los investigadores recopilarían observaciones tanto de fumadores como de no fumadores, quizás a través de un estudio de cohorte , y luego buscarían el número de casos de cáncer de pulmón en cada grupo. [38] Un estudio de casos y controles es otro tipo de estudio observacional en el que se invita a participar a personas con y sin el resultado de interés (por ejemplo, cáncer de pulmón) y se recopilan sus antecedentes de exposición.

Tipos de datos [ editar ]

Se han realizado varios intentos para producir una taxonomía de niveles de medición . El psicofísico Stanley Smith Stevens definió escalas nominales, ordinales, de intervalo y de razón. Las medidas nominales no tienen un orden de rango significativo entre los valores y permiten cualquier transformación (inyectiva) de uno a uno. Las mediciones ordinales tienen diferencias imprecisas entre valores consecutivos, pero tienen un orden significativo para esos valores y permiten cualquier transformación que conserve el orden. Las mediciones de intervalo tienen distancias significativas entre las mediciones definidas, pero el valor cero es arbitrario (como en el caso de las mediciones de longitud y temperatura en grados Celsius o Fahrenheit) y permitir cualquier transformación lineal. Las mediciones de relación tienen un valor cero significativo y las distancias entre las diferentes mediciones definidas, y permiten cualquier transformación de cambio de escala.

Debido a que las variables que se ajustan solo a medidas nominales u ordinales no pueden medirse numéricamente de manera razonable, a veces se agrupan como variables categóricas , mientras que las medidas de razón e intervalo se agrupan como variables cuantitativas , que pueden ser discretas o continuas , debido a su naturaleza numérica. Tales distinciones a menudo pueden estar vagamente correlacionadas con el tipo de datos en ciencias de la computación, ya que las variables categóricas dicotómicas se pueden representar con el tipo de datos booleano , las variables categóricas politómicas con números enteros asignados arbitrariamente en el tipo de datos integral.y variables continuas con el tipo de datos reales que involucran el cálculo de punto flotante . Pero la asignación de tipos de datos informáticos a tipos de datos estadísticos depende de qué categorización de estos últimos se esté implementando.

Se han propuesto otras categorizaciones. Por ejemplo, Mosteller y Tukey (1977) [39] distinguieron grados, rangos, fracciones contadas, recuentos, cantidades y saldos. Nelder (1990) [40] describió recuentos continuos, ratios continuos, ratios de recuento y modos categóricos de datos. (Véase también: Chrisman (1998), [41] van den Berg (1991). [42] )

La cuestión de si es apropiado o no aplicar diferentes tipos de métodos estadísticos a los datos obtenidos de diferentes tipos de procedimientos de medición se complica por cuestiones relativas a la transformación de variables y la interpretación precisa de las preguntas de investigación. "La relación entre los datos y lo que describen simplemente refleja el hecho de que ciertos tipos de enunciados estadísticos pueden tener valores de verdad que no son invariantes bajo algunas transformaciones. Si una transformación es sensible o no de contemplar depende de la pregunta que uno está tratando de responder. . " [43] : 82

Métodos [ editar ]

Estadísticas descriptivas [ editar ]

Una estadística descriptiva (en el sentido de sustantivo de conteo ) es una estadística de resumen que describe o resume cuantitativamente las características de una colección de información , [44] mientras que la estadística descriptiva en el sentido de sustantivo masivo es el proceso de usar y analizar esas estadísticas. La estadística descriptiva se distingue de la estadística inferencial (o estadística inductiva) en que la estadística descriptiva tiene como objetivo resumir una muestra , en lugar de utilizar los datos para conocer la población que se cree que representa la muestra de datos.

Estadísticas inferenciales [ editar ]

La inferencia estadística es el proceso de utilizar el análisis de datos para deducir las propiedades de una distribución de probabilidad subyacente . [45] El análisis estadístico inferencial infiere propiedades de una población , por ejemplo, probando hipótesis y derivando estimaciones. Se supone que el conjunto de datos observados se extrae de una población más grande. La estadística inferencial se puede contrastar con la estadística descriptiva . La estadística descriptiva se ocupa únicamente de las propiedades de los datos observados y no se basa en la suposición de que los datos provienen de una población más grande.

Terminología y teoría de la estadística inferencial [ editar ]

Estadísticas, estimadores y cantidades fundamentales [ editar ]

Considere las variables aleatorias independientes distribuidas de manera idéntica (IID) con una distribución de probabilidad dada : la teoría de estimación e inferencia estadística estándar define una muestra aleatoria como el vector aleatorio dado por el vector de columna de estas variables IID. [46] La población que se examina se describe mediante una distribución de probabilidad que puede tener parámetros desconocidos.

Una estadística es una variable aleatoria que es una función de la muestra aleatoria, pero no es una estadística que se utiliza para estimar dicha función. Los estimadores de uso común incluyen la media muestral , la varianza muestral insesgada y la covarianza muestral .

Una variable aleatoria que es función de la muestra aleatoria y del parámetro desconocido, pero cuya distribución de probabilidad no depende del parámetro desconocido se denomina cantidad pivote o pivote. Los pivotes ampliamente utilizados incluyen la puntuación z , la estadística de chi cuadrado y el valor t de Student .

Entre dos estimadores de un parámetro dado, se dice que el que tiene un error cuadrático medio más bajo es más eficiente . Además, se dice que un estimador es insesgado si su valor esperado es igual al valor verdadero del parámetro desconocido que se está estimando, y asintóticamente insesgado si su valor esperado converge en el límite al valor verdadero de dicho parámetro.

Otras propiedades deseables para los estimadores incluyen: estimadores UMVUE que tienen la varianza más baja para todos los valores posibles del parámetro a estimar (esta es generalmente una propiedad más fácil de verificar que la eficiencia) y estimadores consistentes que convergen en probabilidad con el valor real de dicho parámetro. .

Esto todavía deja la pregunta de cómo obtener estimadores en una situación dada y llevar a cabo el cálculo, se han propuesto varios métodos: el método de momentos , el método de máxima verosimilitud , el método de mínimos cuadrados y el método más reciente de estimar ecuaciones .

Hipótesis nula e hipótesis alternativa [ editar ]

La interpretación de la información estadística a menudo puede implicar el desarrollo de una hipótesis nula que suele ser (pero no necesariamente) que no existe relación entre las variables o que no se ha producido ningún cambio a lo largo del tiempo. [47] [48]

La mejor ilustración para un novato es la situación que se encuentra en un juicio penal. La hipótesis nula, H 0 , afirma que el acusado es inocente, mientras que la hipótesis alternativa, H 1 , afirma que el acusado es culpable. La acusación surge por sospecha de culpabilidad. El H 0 (statu quo) se opone a H 1 y se mantiene a menos que H 1 esté respaldado por pruebas "más allá de una duda razonable". Sin embargo, "no rechazar H 0 " en este caso no implica inocencia, sino simplemente que la evidencia fue insuficiente para condenar. Por tanto, el jurado no acepta necesariamente H 0 pero no rechaza H0 . Si bien no se puede "probar" una hipótesis nula, se puede probar qué tan cerca está de ser cierta con una prueba de potencia , que prueba los errores de tipo II .

Lo que los estadísticos llaman hipótesis alternativa es simplemente una hipótesis que contradice la hipótesis nula .

Error [ editar ]

Trabajando a partir de una hipótesis nula , se reconocen dos amplias categorías de error:

  • Errores tipo I en los que la hipótesis nula se rechaza falsamente, dando un "falso positivo".
  • Errores de tipo II en los que la hipótesis nula no se rechaza y se pasa por alto una diferencia real entre poblaciones, lo que da un "falso negativo".

La desviación estándar se refiere al grado en que las observaciones individuales en una muestra difieren de un valor central, como la media de la muestra o la población, mientras que el error estándar se refiere a una estimación de la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población.

Un error estadístico es la cantidad en que una observación difiere de su valor esperado , un residuo es la cantidad que una observación difiere del valor que el estimador del valor esperado asume en una muestra dada (también llamado predicción).

El error cuadrático medio se utiliza para obtener estimadores eficientes , una clase de estimadores ampliamente utilizada. El error cuadrático medio es simplemente la raíz cuadrada del error cuadrático medio.

Un ajuste por mínimos cuadrados: en rojo los puntos a ajustar, en azul la línea ajustada.

Muchos métodos estadísticos buscan minimizar la suma residual de cuadrados , y estos se denominan " métodos de mínimos cuadrados " en contraste con las desviaciones mínimas absolutas . El último da igual peso a errores pequeños y grandes, mientras que el primero da más peso a errores grandes. La suma de cuadrados residual también es diferenciable , lo que proporciona una propiedad útil para realizar regresiones . Los mínimos cuadrados aplicados a la regresión lineal se denominan métodos de mínimos cuadrados ordinarios y los mínimos cuadrados aplicados a la regresión no lineal se denominan mínimos cuadrados no lineales.. También en un modelo de regresión lineal, la parte no determinista del modelo se denomina término de error, perturbación o, más simplemente, ruido. Tanto la regresión lineal como la no lineal se abordan en mínimos cuadrados polinomiales , que también describen la varianza en una predicción de la variable dependiente (eje y) en función de la variable independiente (eje x) y las desviaciones (errores, ruido, perturbaciones) de la curva estimada (ajustada).

Los procesos de medición que generan datos estadísticos también están sujetos a error. Muchos de estos errores se clasifican como aleatorios (ruido) o sistemáticos ( sesgo ), pero otros tipos de errores (p. Ej., Metedura de pata, como cuando un analista informa unidades incorrectas) también pueden ser importantes. La presencia de datos faltantes o censura puede resultar en estimaciones sesgadas y se han desarrollado técnicas específicas para abordar estos problemas. [49]

Estimación de intervalo [ editar ]
Intervalos de confianza : la línea roja es el valor real de la media en este ejemplo, las líneas azules son intervalos de confianza aleatorios para 100 realizaciones.

La mayoría de los estudios solo toman muestras de una parte de una población, por lo que los resultados no representan completamente a toda la población. Cualquier estimación obtenida de la muestra solo se aproxima al valor de la población. Los intervalos de confianza permiten a los estadísticos expresar en qué medida la estimación de la muestra coincide con el valor real en toda la población. A menudo se expresan como intervalos de confianza del 95%. Formalmente, un intervalo de confianza del 95% para un valor es un rango en el que, si el muestreo y el análisis se repitieran en las mismas condiciones (produciendo un conjunto de datos diferente), el intervalo incluiría el valor real (de la población) en el 95% de todos los casos posibles. . Esto no implica que la probabilidad de que el valor real esté en el intervalo de confianza sea del 95%. Del frecuentistaperspectiva, tal afirmación ni siquiera tiene sentido, ya que el valor real no es una variable aleatoria . O el valor verdadero está o no dentro del intervalo dado. Sin embargo, es cierto que, antes de que se muestree cualquier dato y se le proporcione un plan sobre cómo construir el intervalo de confianza, la probabilidad es del 95% de que el intervalo aún por calcular cubra el valor real: en este punto, el intervalo de confianza es del 95%. los límites del intervalo son variables aleatorias aún por observar . Un enfoque que produce un intervalo que puede interpretarse como que tiene una probabilidad determinada de contener el valor verdadero es utilizar un intervalo creíble de las estadísticas bayesianas : este enfoque depende de una forma diferente de interpretar lo que se entiende por "probabilidad"., eso es como una probabilidad bayesiana .

En principio, los intervalos de confianza pueden ser simétricos o asimétricos. Un intervalo puede ser asimétrico porque funciona como límite inferior o superior para un parámetro (intervalo del lado izquierdo o intervalo del lado derecho), pero también puede ser asimétrico porque el intervalo de dos lados se construye violando la simetría alrededor de la estimación. A veces, los límites de un intervalo de confianza se alcanzan de forma asintótica y se utilizan para aproximar los límites verdaderos.

Importancia [ editar ]

Las estadísticas rara vez dan una respuesta simple de tipo Sí / No a la pregunta que se analiza. La interpretación a menudo se reduce al nivel de significación estadística aplicada a los números y, a menudo, se refiere a la probabilidad de que un valor rechace con precisión la hipótesis nula (a veces denominado valor p ).

En este gráfico, la línea negra es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba , la región crítica es el conjunto de valores a la derecha del punto de datos observado (valor observado del estadístico de prueba) y el valor p está representado por el área verde.

El enfoque estándar [46] es probar una hipótesis nula contra una hipótesis alternativa. Una región crítica es el conjunto de valores del estimador que lleva a refutar la hipótesis nula. La probabilidad de error de tipo I es, por tanto, la probabilidad de que el estimador pertenezca a la región crítica dado que la hipótesis nula es verdadera ( significación estadística ) y la probabilidad de error de tipo II es la probabilidad de que el estimador no pertenezca a la región crítica dada. que la hipótesis alternativa es cierta. El poder estadístico de una prueba es la probabilidad de que rechace correctamente la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa.

Hacer referencia a la importancia estadística no significa necesariamente que el resultado general sea significativo en términos del mundo real. Por ejemplo, en un estudio grande de un fármaco, se puede demostrar que el fármaco tiene un efecto beneficioso estadísticamente significativo pero muy pequeño, de modo que es poco probable que el fármaco ayude al paciente de forma notable.

Aunque, en principio, el nivel aceptable de significancia estadística puede estar sujeto a debate, el nivel de significancia es el valor p más grande que permite que la prueba rechace la hipótesis nula. Esta prueba es lógicamente equivalente a decir que el valor p es la probabilidad, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera, de observar un resultado al menos tan extremo como el estadístico de prueba . Por lo tanto, cuanto menor sea el nivel de significancia, menor será la probabilidad de cometer un error de tipo I.

Algunos problemas suelen estar asociados con este marco (ver crítica de la prueba de hipótesis ):

  • Una diferencia que sea altamente estadísticamente significativa puede no tener importancia práctica, pero es posible formular pruebas de manera adecuada para dar cuenta de esto. Una respuesta implica ir más allá de informar solo el nivel de significancia para incluir el valor p al informar si una hipótesis es rechazada o aceptada. Sin embargo, el valor p no indica el tamaño o la importancia del efecto observado y también puede parecer que exagera la importancia de diferencias menores en estudios grandes. Un enfoque mejor y cada vez más común es informar los intervalos de confianza . Aunque estos se producen a partir de los mismos cálculos que los de las pruebas de hipótesis op-valores, describen tanto el tamaño del efecto como la incertidumbre que lo rodea.
  • Falacia del condicional transpuesto, también conocida como falacia del fiscal : las críticas surgen porque el enfoque de prueba de hipótesis obliga a favorecer una hipótesis (la hipótesis nula ), ya que lo que se evalúa es la probabilidad del resultado observado dada la hipótesis nula y no la probabilidad de la hipótesis nula dado el resultado observado. La inferencia bayesiana ofrece una alternativa a este enfoque , aunque requiere establecer una probabilidad previa . [50]
  • Rechazar la hipótesis nula no prueba automáticamente la hipótesis alternativa.
  • Como todo en la estadística inferencial, se basa en el tamaño de la muestra y, por lo tanto , los valores p de colas gruesas pueden calcularse gravemente mal. [ aclaración necesaria ]
Ejemplos [ editar ]

Algunas pruebas y procedimientos estadísticos bien conocidos son:

  • Análisis de varianza (ANOVA)
  • Prueba de chi-cuadrado
  • Correlación
  • Análisis factorial
  • Mann – Whitney U
  • Desviación cuadrática media ponderada (MSWD)
  • Coeficiente de correlación producto-momento de Pearson
  • Análisis de regresión
  • Coeficiente de correlación de rango de Spearman
  • Prueba t de estudiante
  • Análisis de series temporales
  • Análisis conjunto

Análisis de datos exploratorios [ editar ]

El análisis de datos exploratorios ( EDA ) es un enfoque para analizar conjuntos de datos para resumir sus características principales, a menudo con métodos visuales. Se puede usar o no un modelo estadístico , pero principalmente EDA es para ver qué nos pueden decir los datos más allá del modelado formal o la tarea de prueba de hipótesis.

Mal uso [ editar ]

El uso indebido de las estadísticas puede producir errores sutiles pero graves en la descripción e interpretación, sutiles en el sentido de que incluso los profesionales experimentados cometen tales errores, y graves en el sentido de que pueden conducir a devastadores errores de decisión. Por ejemplo, la política social, la práctica médica y la confiabilidad de estructuras como puentes dependen del uso adecuado de las estadísticas.

Incluso cuando las técnicas estadísticas se aplican correctamente, los resultados pueden ser difíciles de interpretar para quienes carecen de experiencia. La significación estadística de una tendencia en los datos, que mide el grado en que una tendencia podría ser causada por una variación aleatoria en la muestra, puede o no coincidir con un sentido intuitivo de su significación. El conjunto de habilidades estadísticas básicas (y escepticismo) que las personas necesitan para manejar adecuadamente la información en su vida cotidiana se conoce como alfabetización estadística .

Existe una percepción general de que el conocimiento estadístico se utiliza con demasiada frecuencia de forma intencionada al encontrar formas de interpretar solo los datos que son favorables para el presentador. [51] La desconfianza y la incomprensión de las estadísticas se asocia con la cita, " Hay tres tipos de mentiras: mentiras, malditas mentiras y estadísticas ". El mal uso de las estadísticas puede ser tanto involuntario como intencional, y el libro How to Lie with Statistics [51] describe una serie de consideraciones. En un intento por arrojar luz sobre el uso y mal uso de las estadísticas, se llevan a cabo revisiones de las técnicas estadísticas utilizadas en campos particulares (por ejemplo, Warne, Lazo, Ramos y Ritter (2012)). [52]

Las formas de evitar el uso indebido de las estadísticas incluyen el uso de diagramas adecuados y evitar sesgos . [53] El uso indebido puede ocurrir cuando las conclusiones se generalizan en exceso y se afirma que son representativas de más de lo que realmente son, a menudo al pasar por alto deliberada o inconscientemente el sesgo de muestreo. [54] Los gráficos de barras son posiblemente los diagramas más fáciles de usar y comprender, y se pueden hacer a mano o con simples programas de computadora. [53] Desafortunadamente, la mayoría de las personas no buscan prejuicios o errores, por lo que no se notan. Por lo tanto, las personas a menudo pueden creer que algo es cierto incluso si no está bien representado . [54]Para que los datos recopilados a partir de estadísticas sean creíbles y precisos, la muestra tomada debe ser representativa del conjunto. [55] Según Huff, "La confiabilidad de una muestra puede ser destruida por [sesgo] ... permítase cierto grado de escepticismo". [56]

Para ayudar a comprender las estadísticas, Huff propuso una serie de preguntas que se formularían en cada caso: [51]

  • Quien lo dice (¿Tiene un hacha para moler?)
  • ¿Cómo lo sabe? (¿Tiene los recursos para conocer los hechos?)
  • ¿Qué falta? (¿Nos da una imagen completa?)
  • ¿Alguien cambió de tema? (¿Nos ofrece la respuesta correcta al problema incorrecto?)
  • ¿Tiene sentido? (¿Su conclusión es lógica y coherente con lo que ya sabemos?)
La variable de confusión problema: X y Y puede ser correlacionada, no porque no hay relación causal entre ellos, sino porque ambos dependen de una variable tercera Z . Z se llama factor de confusión.

Mala interpretación: correlación [ editar ]

El concepto de correlación es particularmente digno de mención por la posible confusión que puede causar. El análisis estadístico de un conjunto de datos a menudo revela que dos variables (propiedades) de la población bajo consideración tienden a variar juntas, como si estuvieran conectadas. Por ejemplo, un estudio del ingreso anual que también analiza la edad de muerte podría encontrar que las personas pobres tienden a tener vidas más cortas que las personas ricas. Se dice que las dos variables están correlacionadas; sin embargo, pueden o no ser la causa de la otra. El fenómeno de correlación podría ser causado por un tercer fenómeno, previamente no considerado, llamado variable acechante o variable de confusión.. Por esta razón, no hay forma de inferir inmediatamente la existencia de una relación causal entre las dos variables.

Aplicaciones [ editar ]

Estadística aplicada, estadística teórica y estadística matemática [ editar ]

La estadística aplicada comprende la estadística descriptiva y la aplicación de la estadística inferencial. [57] [58] La estadística teórica se refiere a los argumentos lógicos que subyacen a la justificación de los enfoques de la inferencia estadística , así como a la estadística matemática que abarca . La estadística matemática incluye no solo la manipulación de las distribuciones de probabilidad necesarias para derivar resultados relacionados con los métodos de estimación e inferencia, sino también varios aspectos de la estadística computacional y el diseño de experimentos .

Los consultores estadísticos pueden ayudar a las organizaciones y empresas que no tienen experiencia interna relevante para sus preguntas particulares.

Aprendizaje automático y minería de datos [ editar ]

Los modelos de aprendizaje automático son modelos estadísticos y probabilísticos que capturan patrones en los datos mediante el uso de algoritmos computacionales.

Estadísticas en la academia [ editar ]

La estadística es aplicable a una amplia variedad de disciplinas académicas , incluidas las ciencias naturales y sociales , el gobierno y los negocios. Las estadísticas comerciales aplican métodos estadísticos en econometría , auditoría y producción y operaciones, incluida la mejora de los servicios y la investigación de mercados. [59] Un estudio de dos revistas de biología tropical encontró que las 12 pruebas estadísticas más frecuentes son: Análisis de varianza (ANOVA), Prueba de chi-cuadrado , Prueba T de Student , Regresión lineal , Coeficiente de correlación de Pearson , Prueba U de Mann-Whitney, Prueba de Kruskal-Wallis , índice de diversidad de Shannon , prueba de Tukey , análisis de conglomerados , prueba de correlación de rangos de Spearman y análisis de componentes principales . [60]

Un curso de estadística típico cubre estadística descriptiva, probabilidad, distribuciones binomiales y normales , prueba de hipótesis e intervalos de confianza, regresión lineal y correlación. [61] Los cursos de estadística fundamental moderna para estudiantes de pregrado se centran en la selección correcta de pruebas, la interpretación de resultados y el uso de software de estadística gratuito . [60]

Computación estadística [ editar ]

gretl , un ejemplo de paquete estadístico de código abierto

Los aumentos rápidos y sostenidos de la potencia informática a partir de la segunda mitad del siglo XX han tenido un impacto sustancial en la práctica de la ciencia estadística. Los primeros modelos estadísticos eran casi siempre de la clase de modelos lineales , pero las computadoras potentes, junto con los algoritmos numéricos adecuados , provocaron un mayor interés en los modelos no lineales (como las redes neuronales ), así como la creación de nuevos tipos, como los modelos lineales generalizados. y modelos multinivel .

El aumento de la potencia informática también ha llevado a la creciente popularidad de los métodos computacionalmente intensivos basados ​​en el remuestreo , como las pruebas de permutación y el bootstrap , mientras que técnicas como el muestreo de Gibbs han hecho más factible el uso de modelos bayesianos . La revolución informática tiene implicaciones para el futuro de las estadísticas con un nuevo énfasis en las estadísticas "experimentales" y "empíricas". Actualmente se dispone de una gran cantidad de software estadístico para fines generales y especiales . Ejemplos de software disponible capaz de realizar cálculos estadísticos complejos incluyen programas como Mathematica , SAS , SPSS yR .

Estadísticas comerciales [ editar ]

En los negocios, las "estadísticas" son una herramienta de apoyo a la gestión y la toma de decisiones ampliamente utilizada . Se aplica particularmente en la gestión financiera , gestión de marketing , y la producción , los servicios y la gestión de operaciones . [62] [63] Las estadísticas también se utilizan mucho en la contabilidad de gestión y la auditoría . La disciplina de Ciencias de la Gestión formaliza el uso de la estadística y otras matemáticas en los negocios. (La econometría es la aplicación de métodos estadísticos a los datos económicospara dar contenido empírico a las relaciones económicas .)

Un curso típico de "Estadísticas comerciales" está destinado a estudiantes de negocios y cubre [64] estadísticas descriptivas ( recopilación , descripción, análisis y resumen de datos), probabilidad (generalmente las distribuciones binomial y normal ), prueba de hipótesis e intervalos de confianza, regresión lineal y correlación; Los cursos (de seguimiento) pueden incluir pronósticos , series de tiempo , árboles de decisión , regresión lineal múltiple y otros temas de la analítica empresarial en general. Véase también Matemáticas empresariales § Nivel universitario.Los programas de certificación profesional , como el CFA , a menudo incluyen temas de estadística.

Estadística aplicada a las matemáticas o las artes [ editar ]

Tradicionalmente, la estadística se preocupaba por hacer inferencias utilizando una metodología semi-estandarizada que era "aprendizaje requerido" en la mayoría de las ciencias. [ cita requerida ] Esta tradición ha cambiado con el uso de estadísticas en contextos no inferenciales. Lo que alguna vez se consideró un tema seco, tomado en muchos campos como un requisito de grado, ahora se ve con entusiasmo. [ según quién? ] Inicialmente ridiculizado por algunos matemáticos puristas, ahora se considera una metodología esencial en ciertas áreas.

  • En la teoría de números , los diagramas de dispersión de datos generados por una función de distribución pueden transformarse con herramientas familiares utilizadas en estadística para revelar patrones subyacentes, que luego pueden conducir a hipótesis.
  • Los métodos de estadística, incluidos los métodos predictivos en el pronóstico, se combinan con la teoría del caos y la geometría fractal para crear trabajos de video que se consideran de gran belleza. [ cita requerida ]
  • El proceso de arte de Jackson Pollock se basó en experimentos artísticos mediante los cuales se revelaron artísticamente las distribuciones subyacentes en la naturaleza. [ cita requerida ] Con el advenimiento de las computadoras, se aplicaron métodos estadísticos para formalizar tales procesos naturales impulsados ​​por la distribución para hacer y analizar videoarte en movimiento. [ cita requerida ]
  • Los métodos estadísticos pueden usarse de manera predicativa en el arte de la performance , como en un truco de cartas basado en un proceso de Markov que solo funciona una parte del tiempo, cuya ocasión puede predecirse usando metodología estadística.
  • Las estadísticas se pueden utilizar para crear arte de manera predicativa, como en la música estadística o estocástica inventada por Iannis Xenakis , donde la música es específica de la interpretación. Aunque este tipo de arte no siempre sale como se esperaba, se comporta de manera predecible y sintonizable usando estadísticas.

Disciplinas especializadas [ editar ]

Las técnicas estadísticas se utilizan en una amplia gama de tipos de investigación científica y social, entre ellos: bioestadística , la biología computacional , la sociología computacional , la biología de la red , las ciencias sociales , la sociología y la investigación social . Algunos campos de investigación utilizan la estadística aplicada de manera tan extensa que tienen terminología especializada . Estas disciplinas incluyen:

  • Ciencia actuarial (evalúa el riesgo en las industrias de seguros y finanzas)
  • Economía de la información aplicada
  • Astrostatistics (evaluación estadística de datos astronómicos)
  • Bioestadística
  • Quimiometría (para análisis de datos de química )
  • Minería de datos (aplicación de estadísticas y reconocimiento de patrones para descubrir conocimientos a partir de los datos)
  • Ciencia de los datos
  • Demografía (estudio estadístico de poblaciones)
  • Econometría (análisis estadístico de datos económicos)
  • Estadísticas energéticas
  • Estadísticas de ingeniería
  • Epidemiología (análisis estadístico de enfermedades)
  • Geografía y sistemas de información geográfica , específicamente en análisis espacial.
  • Procesamiento de imágenes
  • Jurimetría ( derecho )
  • Estadísticas médicas
  • Ciencias Políticas
  • Estadísticas psicológicas
  • Ingeniería de confiabilidad
  • Estadísticas sociales
  • Mecánica estadística

Además, existen tipos particulares de análisis estadístico que también han desarrollado su propia terminología y metodología especializadas:

  • Remuestreo Bootstrap  / Jackknife
  • Estadística multivariante
  • Clasificación estadística
  • Análisis de datos estructurados
  • Modelado de ecuaciones estructurales
  • Metodología de la encuesta
  • Análisis de supervivencia
  • Estadísticas en varios deportes, particularmente béisbol , conocido como sabermetrics , y cricket.

Las estadísticas también constituyen una herramienta básica clave en los negocios y la fabricación. Se utiliza para comprender la variabilidad de los sistemas de medición, los procesos de control (como en el control de procesos estadísticos o SPC), para resumir datos y tomar decisiones basadas en datos. En estos roles, es una herramienta clave y quizás la única herramienta confiable.

Ver también [ editar ]

  • Estimación de abundancia
  • Ciencia de los datos
  • Glosario de probabilidad y estadística
  • Lista de asociaciones estadísticas académicas
  • Lista de publicaciones importantes en estadística
  • Lista de servicios estadísticos nacionales e internacionales
  • Lista de paquetes estadísticos (software)
  • Lista de artículos estadísticos
  • Relación de centros universitarios de consultoría estadística
  • Notación en probabilidad y estadística
  • Día mundial de la estadística
Fundamentos y áreas principales de la estadística
  • Fundamentos de la estadística
  • Lista de estadísticos
  • Estadísticas oficiales
  • Análisis de varianza multivariado

Referencias [ editar ]

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Lectura adicional [ editar ]

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Enlaces externos [ editar ]

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  • Recursos informáticos estadísticos de UCLA
  • Filosofía de la estadística de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford