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Matemáticas

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El matemático griego Euclides (sosteniendo calibradores ), siglo III a. C., como lo imaginó Rafael en este detalle de La escuela de Atenas (1509-1511) [a]

Las matemáticas (del griego : μάθημα , máthēma , 'conocimiento, estudio, aprendizaje') incluyen el estudio de temas como cantidad ( teoría de números ), [1] estructura ( álgebra ), [2] espacio ( geometría ), [1] y cambio ( análisis ). [3] [4] [5] No tiene una definición generalmente aceptada . [6] [7]

Los matemáticos buscan y usan patrones [8] [9] para formular nuevas conjeturas ; resuelven la verdad o falsedad de los mismos mediante pruebas matemáticas . Cuando las estructuras matemáticas son buenos modelos de fenómenos reales, el razonamiento matemático se puede utilizar para proporcionar información o predicciones sobre la naturaleza. Mediante el uso de la abstracción y la lógica , las matemáticas se desarrollaron a partir del conteo , el cálculo , la medición y el estudio sistemático de las formas y movimientos de los objetos físicos.. Las matemáticas prácticas han sido una actividad humana desde que existen registros escritos . La investigación necesaria para resolver problemas matemáticos puede llevar años o incluso siglos de indagación sostenida.

Los argumentos rigurosos aparecieron por primera vez en las matemáticas griegas , sobre todo en los Elementos de Euclides . [10] Desde el trabajo pionero de Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943) y otros sobre sistemas axiomáticos a finales del siglo XIX , se ha vuelto habitual considerar que la investigación matemática establece la verdad mediante una deducción rigurosa de axiomas y definiciones apropiadamente elegidos . Las matemáticas se desarrollaron a un ritmo relativamente lento hasta el Renacimiento , cuando las innovaciones matemáticas interactuaban con nuevos Los descubrimientos científicos llevaron a un rápido aumento en la tasa de descubrimiento matemático que ha continuado hasta el día de hoy. [11]

Las matemáticas son esenciales en muchos campos, incluidas las ciencias naturales , la ingeniería , la medicina , las finanzas y las ciencias sociales . Las matemáticas aplicadas han dado lugar a disciplinas matemáticas completamente nuevas, como la estadística y la teoría de juegos . Los matemáticos se dedican a las matemáticas puras (las matemáticas en sí mismas) sin tener ninguna aplicación en mente, pero las aplicaciones prácticas de lo que comenzó como matemáticas puras a menudo se descubren más tarde. [12] [13]

Historia

La historia de las matemáticas puede verse como una serie cada vez mayor de abstracciones . La primera abstracción, compartida por muchos animales, [14] fue probablemente la de los números: la constatación de que una colección de dos manzanas y una colección de dos naranjas (por ejemplo) tienen algo en común, a saber, la cantidad de sus miembros.

Como lo demuestran los recuentos encontrados en los huesos, además de reconocer cómo contar objetos físicos, los pueblos prehistóricos también pueden haber reconocido cómo contar cantidades abstractas, como el tiempo: días, estaciones o años. [15] [16]

La tablilla matemática babilónica Plimpton 322, fechada en 1800 a. C.

La evidencia de matemáticas más complejas no aparece hasta alrededor del 3000 aC. , cuando los babilonios y los egipcios comenzaron a usar la aritmética , el álgebra y la geometría para los impuestos y otros cálculos financieros, para la construcción y la astronomía . [17] Los textos matemáticos más antiguos de Mesopotamia y Egipto son de 2000 a 1800 a. C. [18] Muchos textos antiguos mencionan triples pitagóricos y, por tanto, por inferencia, el teorema de Pitágorasparece ser el desarrollo matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas. [19] Es en las matemáticas babilónicas donde la aritmética elemental ( suma , resta , multiplicación y división ) aparece por primera vez en el registro arqueológico. Los babilonios también poseían un sistema de valor posicional y usaban un sistema numérico sexagesimal [19] que todavía se usa hoy en día para medir ángulos y tiempo. [20]

Arquímedes usó el método de agotamiento para aproximar el valor de pi .

A partir del siglo VI a. C. con los pitagóricos , con las matemáticas griegas, los antiguos griegos comenzaron un estudio sistemático de las matemáticas como una asignatura por derecho propio. [21] Alrededor del 300 a. C., Euclides introdujo el método axiomático que todavía se usa en las matemáticas hoy en día, que consiste en definición, axioma, teorema y demostración. Su libro, Elements , es ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. [22] A menudo se considera que el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes (c. 287-212 a. C.) de Siracusa . [23]Desarrolló fórmulas para calcular el área de superficie y el volumen de sólidos de revolución y utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , de una manera no muy diferente del cálculo moderno. [24] Otros logros notables de las matemáticas griegas son las secciones cónicas ( Apolonio de Perge , siglo III a. C.), [25] trigonometría ( Hiparco de Nicea , siglo II a. C.), [26] y los comienzos del álgebra ( Diofanto , siglo III d. C. ). [27]

Los números utilizados en el manuscrito de Bakhshali , datados entre el siglo II a. C. y el siglo II d. C.

El sistema numérico hindú-árabe y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy, evolucionaron a lo largo del primer milenio d.C. en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas . [28] Otros desarrollos notables de las matemáticas indias incluyen la definición y aproximación modernas de seno y coseno , [28] y una forma temprana de series infinitas .

Una página del Álgebra de al-Khwārizmī

Durante la Edad de Oro del Islam , especialmente durante los siglos IX y X, las matemáticas vieron muchas innovaciones importantes basadas en las matemáticas griegas. El logro más notable de las matemáticas islámicas fue el desarrollo del álgebra . Otros logros del período islámico incluyen avances en trigonometría esférica y la adición del punto decimal al sistema de numeración arábiga. [29] [30] Muchos matemáticos notables de este período eran persas, como Al-Khwarismi , Omar Khayyam y Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī .

Durante el período moderno temprano , las matemáticas comenzaron a desarrollarse a un ritmo acelerado en Europa Occidental . El desarrollo del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo XVII revolucionó las matemáticas. [31] Leonhard Euler fue el matemático más notable del siglo XVIII, contribuyendo con numerosos teoremas y descubrimientos. [32] Quizás el matemático más destacado del siglo XIX fue el matemático alemán Carl Friedrich Gauss , [33] quien hizo numerosas contribuciones a campos como el álgebra , el análisis , la geometría diferencial , la teoría de matrices ,teoría de números y estadística . A principios del siglo XX, Kurt Gödel transformó las matemáticas publicando sus teoremas de incompletitud , que muestran en parte que cualquier sistema axiomático consistente, si es lo suficientemente poderoso para describir la aritmética, contendrá proposiciones verdaderas que no pueden ser probadas. [34]

Desde entonces, las matemáticas se han ampliado enormemente y ha habido una fructífera interacción entre las matemáticas y las ciencias, en beneficio de ambas. Hoy en día se siguen haciendo descubrimientos matemáticos. Según Mikhail B. Sevryuk, en la edición de enero de 2006 del Bulletin of the American Mathematical Society , "El número de artículos y libros incluidos en la base de datos de Mathematical Reviews desde 1940 (el primer año de funcionamiento de MR) es ahora de más de 1,9 millones, y más de 75 mil elementos se agregan a la base de datos cada año. La abrumadora mayoría de los trabajos en este océano contienen nuevos teoremas matemáticos y sus demostraciones ". [35]

Etimología

La palabra matemáticas proviene del griego antiguo máthēma ( μάθημα ), que significa "lo que se aprende", [36] "lo que uno llega a saber", por lo tanto también "estudio" y "ciencia". La palabra "matemáticas" llegó a tener el significado más estrecho y técnico de "estudio matemático" incluso en la época clásica. [37] Su adjetivo es mathēmatikós ( μαθηματικός ), que significa "relacionado con el aprendizaje" o "estudioso", que igualmente llegó a significar "matemático". En particular, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; latín :ars mathica) significaba "el arte matemático".

De manera similar, una de las dos principales escuelas de pensamiento del pitagorismo se conocía como mathēmatikoi (μαθηματικοί), que en ese momento significaba "aprendices" en lugar de "matemáticos" en el sentido moderno. [38]

En latín, y en inglés hasta alrededor de 1700, el término matemáticas significaba más comúnmente " astrología " (oa veces " astronomía ") en lugar de "matemáticas"; el significado cambió gradualmente al actual desde aproximadamente 1500 hasta 1800. Esto ha dado lugar a varios errores de traducción. Por ejemplo, la advertencia de San Agustín de que los cristianos deben tener cuidado con los matemáticos , es decir, los astrólogos, a veces se traduce erróneamente como una condena a los matemáticos. [39]

La forma plural aparente en inglés, como la forma plural francesa les mathématiques (y el derivado singular menos comúnmente usado la mathématique ), se remonta al plural neutro latino matemático ( Cicerón ), basado en el plural griego ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), utilizado por Aristóteles (384-322 aC), y que significa aproximadamente "todas las cosas matemáticas", aunque es plausible que el inglés tomara prestado solo el adjetivo matemático (al) y formara el sustantivo matemático de nuevo, siguiendo el patrón de la física y la metafísica, que fueron heredados del griego. [40] En inglés, el sustantivo matemática toma un verbo singular. A menudo se abrevia a matemáticas o, en América del Norte, matemáticas . [41]

Definiciones de matemática

Leonardo Fibonacci , el matemático italiano que introdujo el sistema de numeración hindú-árabe inventado entre los siglos I y IV por matemáticos indios en el mundo occidental.

Las matemáticas no tienen una definición generalmente aceptada. [6] [7] Aristóteles definió las matemáticas como "la ciencia de la cantidad" y esta definición prevaleció hasta el siglo XVIII. Sin embargo, Aristóteles también señaló que un enfoque en la cantidad por sí solo puede no distinguir las matemáticas de las ciencias como la física; en su opinión, la abstracción y el estudio de la cantidad como una propiedad "separable en el pensamiento" de las instancias reales distinguen a las matemáticas. [42]

En el siglo XIX, cuando el estudio de las matemáticas aumentó en rigor y comenzó a abordar temas abstractos como la teoría de grupos y la geometría proyectiva , que no tienen una relación clara con la cantidad y la medida, matemáticos y filósofos comenzaron a proponer una variedad de nuevas definiciones . [43]

Muchos matemáticos profesionales no se interesan por una definición de matemáticas o la consideran indefinible. [6] Ni siquiera hay consenso sobre si las matemáticas son un arte o una ciencia. [7] Algunos simplemente dicen: "Las matemáticas son lo que hacen los matemáticos". [6]

Tres tipos principales

Hoy en día, tres tipos principales de definición de las matemáticas se denominan logicista , intuicionista y formalista , y cada uno refleja una escuela filosófica de pensamiento diferente. [44] Todos tienen defectos graves, ninguno tiene una aceptación generalizada y no parece posible la reconciliación. [44]

Definiciones lógicas

Una de las primeras definiciones de las matemáticas en términos de lógica fue la de Benjamin Peirce (1870): "la ciencia que saca las conclusiones necesarias". [45] En los Principia Mathematica , Bertrand Russell y Alfred North Whitehead avanzaron el programa filosófico conocido como logicismo e intentaron demostrar que todos los conceptos, declaraciones y principios matemáticos pueden definirse y probarse completamente en términos de lógica simbólica . Una definición lógica de las matemáticas es la de Russell (1903) "Todas las matemáticas son lógica simbólica". [46]

Definiciones intuicionistas

Las definiciones intuicionistas , desarrolladas a partir de la filosofía del matemático LEJ Brouwer , identifican las matemáticas con ciertos fenómenos mentales. Un ejemplo de definición intuicionista es "La matemática es la actividad mental que consiste en realizar constructos uno tras otro". [44] Una peculiaridad del intuicionismo es que rechaza algunas ideas matemáticas consideradas válidas según otras definiciones. En particular, mientras que otras filosofías de las matemáticas permiten objetos cuya existencia se puede probar aunque no se puedan construir, el intuicionismo solo permite objetos matemáticos que uno realmente pueda construir. Los intuicionistas también rechazan la ley del medio excluido (es decir,). Si bien esta postura hace obligarlos a rechazar una versión común de la prueba por la contradicción como un método viable de prueba, es decir, la inferencia de partir , todavía son capaces de inferir a partir . Para ellos, es una declaración estrictamente más débil que . [47]

Definiciones formalistas

Las definiciones formalistas identifican las matemáticas con sus símbolos y las reglas para operar sobre ellos. Haskell Curry definió las matemáticas simplemente como "la ciencia de los sistemas formales". [48] Un sistema formal es un conjunto de símbolos, o tokens , y algunas reglas sobre cómo los tokens deben combinarse en fórmulas . En los sistemas formales, la palabra axioma tiene un significado especial diferente del significado ordinario de "una verdad autoevidente", y se usa para referirse a una combinación de tokens que se incluye en un sistema formal dado sin necesidad de derivar usando el reglas del sistema.

Matemáticas como ciencia

Carl Friedrich Gauss , conocido como el príncipe de los matemáticos

El matemático alemán Carl Friedrich Gauss se refirió a las matemáticas como "la reina de las ciencias". [49] Más recientemente, Marcus du Sautoy ha llamado a las matemáticas "la reina de la ciencia ... la principal fuerza impulsora detrás del descubrimiento científico". [50] El filósofo Karl Popper observó que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de la física y la biología , hipotético - deductivas : las matemáticas puras resultan, por tanto, mucho más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, de lo que parecía incluso recientemente. " [51]Popper también señaló que "ciertamente admitiré un sistema como empírico o científico sólo si es capaz de ser probado por la experiencia". [52]

Varios autores consideran que la matemática no es una ciencia porque no se apoya en evidencias empíricas . [53] [54] [55] [56]

Las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, en particular la exploración de las consecuencias lógicas de los supuestos. La intuición y la experimentación también juegan un papel en la formulación de conjeturas tanto en matemáticas como en las (otras) ciencias. Las matemáticas experimentales siguen adquiriendo una importancia cada vez mayor dentro de las matemáticas, y la computación y la simulación están desempeñando un papel cada vez más importante tanto en las ciencias como en las matemáticas.

Las opiniones de los matemáticos sobre este tema son variadas. Muchos matemáticos [57] sienten que llamar ciencia a su área es restar importancia a su lado estético y su historia en las siete artes liberales tradicionales ; otros creen que ignorar su conexión con las ciencias es hacer la vista gorda ante el hecho de que la interfaz entre las matemáticas y sus aplicaciones en ciencia e ingeniería ha impulsado mucho desarrollo en las matemáticas. [58] Una forma en que se manifiesta esta diferencia de punto de vista es en el debate filosófico sobre si las matemáticas se crean (como en el arte) o se descubren(como en ciencia). En la práctica, los matemáticos se agrupan típicamente con los científicos en el nivel bruto, pero se separan en los niveles más finos. Este es uno de los muchos temas considerados en la filosofía de las matemáticas . [59]

Inspiración, matemáticas puras y aplicadas y estética

Isaac Newton (izquierda) y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo infinitesimal.

Las matemáticas surgen de muchos tipos diferentes de problemas. Al principio estos se encontraron en el comercio, la medición de la tierra , la arquitectura y más tarde la astronomía ; hoy, todas las ciencias sugieren problemas estudiados por matemáticos, y muchos problemas surgen dentro de las matemáticas mismas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman inventó la formulación integral de caminos de la mecánica cuántica utilizando una combinación de razonamiento matemático y conocimiento físico, y la teoría de cuerdas actual , una teoría científica aún en desarrollo que intenta unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza , continúa inspirando nuevas matemáticas. [60]

Algunas matemáticas son relevantes solo en el área que las inspiró y se aplican para resolver más problemas en esa área. Pero a menudo las matemáticas inspiradas en un área resultan útiles en muchas áreas y se unen al acervo general de conceptos matemáticos. A menudo se hace una distinción entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas . Sin embargo, los temas de matemáticas puras a menudo resultan tener aplicaciones, por ejemplo, la teoría de números en criptografía .

Este hecho notable, que incluso las matemáticas "más puras" a menudo resultan tener aplicaciones prácticas, es lo que el físico Eugene Wigner ha llamado " la efectividad irrazonable de las matemáticas ". [13] El filósofo de las matemáticas Mark Steiner ha escrito extensamente sobre este tema y reconoce que la aplicabilidad de las matemáticas constituye "un desafío al naturalismo". [61] Para la filósofa de las matemáticas Mary Leng , el hecho de que el mundo físico actúe de acuerdo con los dictados de entidades matemáticas no causales que existen más allá del universo es "una feliz coincidencia". [62] Por otro lado, para algunos anti-realistas, las conexiones, que se adquieren entre las cosas matemáticas, simplemente reflejan las conexiones que se adquieren entre los objetos del universo, de modo que no hay una "feliz coincidencia". [62]

Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión del conocimiento en la era científica ha llevado a la especialización: ahora hay cientos de áreas especializadas en matemáticas y la última Clasificación de Materias Matemáticas tiene 46 páginas. [63] Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con tradiciones relacionadas fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas por derecho propio, incluidas la estadística, la investigación de operaciones y la informática .

Para aquellos que se inclinan por las matemáticas, a menudo hay un aspecto estético definido en gran parte de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de las matemáticas, su estética intrínseca y su belleza interior. Se valoran la sencillez y la generalidad. Hay belleza en una demostración simple y elegante , como la de Euclides de que hay infinitos números primos , y en un método numérico elegante que acelera el cálculo, como la transformada rápida de Fourier . GH Hardy en La disculpa de un matemáticoExpresó la creencia de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de la matemática pura. Identificó criterios como la importancia, lo inesperado, la inevitabilidad y la economía como factores que contribuyen a una estética matemática. [64] La investigación matemática a menudo busca características críticas de un objeto matemático. Un teorema expresado como una caracterización del objeto por estas características es el premio. En Proofs from THE BOOK se han publicado ejemplos de argumentos matemáticos particularmente sucintos y reveladores .

La popularidad de las matemáticas recreativas es otra señal del placer que muchos encuentran al resolver cuestiones matemáticas. Y en el otro extremo social, los filósofos continúan encontrando problemas en la filosofía de las matemáticas , como la naturaleza de la demostración matemática . [sesenta y cinco]

Notación, lenguaje y rigor

Leonhard Euler creó y popularizó gran parte de la notación matemática que se usa en la actualidad.

La mayor parte de la notación matemática que se usa hoy en día no se inventó hasta el siglo XVI. [66] Antes de eso, las matemáticas se escribían en palabras, lo que limitaba el descubrimiento matemático. [67] Euler (1707-1783) fue responsable de muchas de las notaciones que se utilizan en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fáciles para el profesional, pero los principiantes a menudo las encuentran abrumadoras. Según Barbara Oakley , esto se puede atribuir al hecho de que las ideas matemáticas son más abstractas y más encriptadas que las del lenguaje natural. [68] A diferencia del lenguaje natural, donde las personas a menudo pueden equiparar una palabra (como vaca) con el objeto físico al que corresponde, los símbolos matemáticos son abstractos, sin ningún análogo físico. [69] Los símbolos matemáticos también están más encriptados que las palabras normales, lo que significa que un solo símbolo puede codificar varias operaciones o ideas diferentes. [70]

El lenguaje matemático puede ser difícil de entender para los principiantes porque incluso los términos comunes, como o y solo , tienen un significado más preciso que el que tienen en el habla cotidiana, y otros términos como abierto y campo se refieren a ideas matemáticas específicas, no cubiertas por su significados de los laicos. El lenguaje matemático también incluye muchos términos técnicos como homeomorfismo e integrable que no tienen significado fuera de las matemáticas. Además, las frases abreviadas como iff para " si y solo si " pertenecen a la jerga matemática. Hay una razón para la notación especial y el vocabulario técnico: las matemáticas requieren más precisión que el habla cotidiana. Los matemáticos se refieren a esta precisión del lenguaje y la lógica como "rigor".

La prueba matemática es fundamentalmente una cuestión de rigor . Los matemáticos quieren que sus teoremas se sigan de axiomas por medio de un razonamiento sistemático. Esto es para evitar " teoremas " erróneos , basados ​​en intuiciones falibles, de los cuales han ocurrido muchos casos en la historia del tema. [b] El nivel de rigor esperado en matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos esperaban argumentos detallados, pero en la época de Isaac Newtonlos métodos empleados fueron menos rigurosos. Los problemas inherentes a las definiciones utilizadas por Newton llevarían a un resurgimiento del análisis cuidadoso y la prueba formal en el siglo XIX. Entender mal el rigor es una causa de algunos de los conceptos erróneos comunes de las matemáticas. Hoy en día, los matemáticos continúan discutiendo entre ellos sobre las pruebas asistidas por computadora . Dado que los cálculos grandes son difíciles de verificar, tales pruebas pueden ser erróneas si el programa de computadora utilizado es erróneo. [c] [71] Por otro lado, los asistentes de prueba permiten verificar todos los detalles que no se pueden dar en una prueba escrita a mano y proporcionan certeza de la exactitud de demostraciones largas como la del teorema de Feit-Thompson . [D]

Los axiomas en el pensamiento tradicional eran "verdades evidentes", pero esa concepción es problemática. [72] En un nivel formal, un axioma es simplemente una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivables de un sistema axiomático . El objetivo del programa de Hilbert era poner todas las matemáticas sobre una base axiomática firme, pero de acuerdo con el teorema de incompletitud de Gödel, todo sistema axiomático (suficientemente poderoso) tiene fórmulas indecidibles ; por tanto, es imposible una axiomatización final de las matemáticas. No obstante, a menudo se imagina que las matemáticas son (en lo que respecta a su contenido formal) nada más que teoría de conjuntosen alguna axiomatización, en el sentido de que todo enunciado o demostración matemática podría formularse en fórmulas dentro de la teoría de conjuntos. [73]

Campos de las matemáticas

El ábaco es una sencilla herramienta de cálculo utilizada desde la antigüedad.

En términos generales, las matemáticas pueden subdividirse en el estudio de la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio (es decir , aritmética , álgebra , geometría y análisis ). Además de estas preocupaciones principales, también hay subdivisiones dedicadas a explorar vínculos desde el corazón de las matemáticas a otros campos: a la lógica , a la teoría de conjuntos ( fundamentos ), a las matemáticas empíricas de las diversas ciencias ( matemáticas aplicadas ), y más recientemente al estudio riguroso de la incertidumbre . Si bien algunas áreas pueden parecer no relacionadas, el programa Langlandsha encontrado conexiones entre áreas que antes se pensaba desconectadas, como los grupos de Galois , las superficies de Riemann y la teoría de números .

Las matemáticas discretas agrupan convencionalmente los campos de las matemáticas que estudian estructuras matemáticas que son fundamentalmente discretas en lugar de continuas.

Fundamentos y filosofía

Con el fin de aclarar los fundamentos de las matemáticas , se desarrollaron los campos de la lógica matemática y la teoría de conjuntos . La lógica matemática incluye el estudio matemático de la lógica y las aplicaciones de la lógica formal a otras áreas de las matemáticas; La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia conjuntos o colecciones de objetos. La frase "crisis de los fundamentos" describe la búsqueda de un fundamento riguroso para las matemáticas que tuvo lugar aproximadamente entre 1900 y 1930. [74] Algunos desacuerdos sobre los fundamentos de las matemáticas continúan hasta el día de hoy. La crisis de las fundaciones fue estimulada por una serie de controversias en ese momento, incluida lacontroversia sobre la teoría de conjuntos de Cantor y la controversia Brouwer-Hilbert .

La lógica matemática se ocupa de situar las matemáticas dentro de un marco axiomático riguroso y estudiar las implicaciones de dicho marco. Como tal, es el hogar de los teoremas de incompletitud de Gödel que (informalmente) implican que cualquier sistema formal efectivo que contenga aritmética básica, si es sólido (lo que significa que todos los teoremas que pueden demostrarse son verdaderos), es necesariamente incompleto (lo que significa que existen teoremas verdaderos que no se puede probar en ese sistema). Cualquiera que sea la colección finita de axiomas teóricos de números que se tome como base, Gödel mostró cómo construir un enunciado formal que sea un hecho teórico de números verdadero, pero que no se siga de esos axiomas. Por lo tanto, ningún sistema formal es una axiomatización completa de la teoría de números completos. La lógica moderna se divide en teoría de la repetición , la teoría de modelos , y la teoría de la prueba , y está estrechamente vinculada a la informática teórica , [75] , así como a la teoría de categorías . En el contexto de la teoría de la recursividad, la imposibilidad de una axiomatización completa de la teoría de números también puede demostrarse formalmente como consecuencia del teorema de MRDP .

La informática teórica incluye la teoría de la computabilidad , la teoría de la complejidad computacional y la teoría de la información . La teoría de la computabilidad examina las limitaciones de varios modelos teóricos de la computadora, incluido el modelo más conocido: la máquina de Turing . La teoría de la complejidad es el estudio de la tractabilidad por computadora; algunos problemas, aunque teóricamente se pueden resolver por computadora, son tan costosos en términos de tiempo o espacio que es probable que resolverlos siga siendo prácticamente inviable, incluso con el rápido avance del hardware de la computadora. Un problema famoso es el problema " P = NP ? ", Uno de los Problemas del Premio Millennium .[76] Finalmente, la teoría de la información se ocupa de la cantidad de datos que se pueden almacenar en un medio dado y, por lo tanto, se ocupa de conceptos como la compresión y la entropía .

Lógica matemáticaTeoría de conjuntosTeoría de categoríasTeoría de la computación

Matemáticas puras

Sistemas numéricos y teoría de números

El estudio de la cantidad comienza con los números, primero los conocidos números naturales y enteros ("números enteros") y las operaciones aritméticas sobre ellos, que se caracterizan en aritmética . Las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números , de la que surgen resultados tan populares como el último teorema de Fermat . La conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach son dos problemas sin resolver en la teoría de números.

A medida que se desarrolla más el sistema numérico, los números enteros se reconocen como un subconjunto de los números racionales (" fracciones "). Estos, a su vez, están contenidos dentro de los números reales , que se utilizan para representar límites de secuencias de números racionales y cantidades continuas . Los números reales se generalizan a los números complejos . De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra , todas las ecuaciones polinomiales en una incógnita con coeficientes complejos tienen una solución en los números complejos, independientemente del grado del polinomio. y son los primeros pasos de una jerarquía de números que incluyecuaterniones y octoniones . La consideración de los números naturales también conduce a los números transfinitos , que formalizan el concepto de " infinito ". Otra área de estudio es el tamaño de los conjuntos, que se describe con los números cardinales . Estos incluyen los números aleph , que permiten una comparación significativa del tamaño de conjuntos infinitamente grandes.

Números naturalesEnterosNumeros racionalesNumeros realesNúmeros complejosCardenales infinitos

Estructura

Muchos objetos matemáticos, como conjuntos de números y funciones , exhiben estructura interna como consecuencia de operaciones o relaciones que se definen en el conjunto. Luego, las matemáticas estudian las propiedades de esos conjuntos que pueden expresarse en términos de esa estructura; por ejemplo, la teoría de números estudia las propiedades del conjunto de números enteros que se pueden expresar en términos de operaciones aritméticas . Además, sucede con frecuencia que diferentes conjuntos (o estructuras ) estructurados exhiben propiedades similares, lo que hace posible, mediante un paso más de abstracción , establecer axiomaspara una clase de estructuras, y luego estudiar de una vez toda la clase de estructuras que satisfacen estos axiomas. Así se pueden estudiar grupos , anillos , campos y otros sistemas abstractos; juntos, tales estudios (para estructuras definidas por operaciones algebraicas) constituyen el dominio del álgebra abstracta .

Por su gran generalidad, el álgebra abstracta a menudo se puede aplicar a problemas aparentemente no relacionados; por ejemplo, una serie de problemas antiguos relacionados con las construcciones con brújula y regla se resolvieron finalmente utilizando la teoría de Galois , que involucra la teoría de campos y la teoría de grupos. Otro ejemplo de una teoría algebraica es el álgebra lineal , que es el estudio general de los espacios vectoriales , cuyos elementos llamados vectores tienen tanto cantidad como dirección, y pueden usarse para modelar (relaciones entre) puntos en el espacio. Este es un ejemplo del fenómeno de que las áreas originalmente no relacionadas de la geometría y el álgebra tienen interacciones muy fuertes en las matemáticas modernas.La combinatoria estudia formas de enumerar el número de objetos que se ajustan a una estructura determinada.

CombinatoriaTeoría de los númerosTeoría de gruposTeoría de grafosTeoría del ordenÁlgebra

Espacio

El estudio del espacio se origina en la geometría, en particular, la geometría euclidiana , que combina el espacio y los números, y engloba el conocido teorema de Pitágoras . La trigonometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos y de las funciones trigonométricas. El estudio moderno del espacio generaliza estas ideas para incluir geometría de dimensiones superiores, geometrías no euclidianas (que juegan un papel central en la relatividad general ) y topología . Tanto la cantidad como el espacio juegan un papel en la geometría analítica , la geometría diferencial ygeometría algebraica . La geometría convexa y discreta se desarrolló para resolver problemas en teoría de números y análisis funcional, pero ahora se persigue con miras a aplicaciones en optimización e informática . Dentro de la geometría diferencial se encuentran los conceptos de haces de fibras y cálculo en variedades , en particular, cálculo vectorial y tensorial . Dentro de la geometría algebraica se encuentra la descripción de objetos geométricos como conjuntos solución de ecuaciones polinomiales , combinando los conceptos de cantidad y espacio, y también el estudio degrupos topológicos , que combinan estructura y espacio. Los grupos de mentiras se utilizan para estudiar el espacio, la estructura y el cambio. La topología en todas sus ramificaciones puede haber sido el área de mayor crecimiento en las matemáticas del siglo XX; incluye topología punto-set , topología de teoría de conjuntos , la topología algebraica y la topología diferencial . En particular, los ejemplos de la topología moderna son la teoría de la metrizabilidad , la teoría de conjuntos axiomáticos , la teoría de la homotopía y la teoría de Morse . La topología también incluye la conjetura de Poincaré ahora resuelta, y las áreas aún sin resolver de la conjetura de Hodge . Otros resultados en geometría y topología, incluido el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler , se han probado solo con la ayuda de computadoras.

GeometríaTrigonometríaGeometría diferencialTopologíaGeometría fractalTeoría de la medida

Cambio

Comprender y describir el cambio es un tema común en las ciencias naturales , y el cálculo se desarrolló como una herramienta para investigarlo. Las funciones surgen aquí como un concepto central que describe una cantidad cambiante. El estudio riguroso de números reales y funciones de una variable real se conoce como análisis real , siendo el análisis complejo el campo equivalente para los números complejos . El análisis funcional centra la atención en espacios de funciones (normalmente de dimensión infinita) . Una de las muchas aplicaciones del análisis funcional es la mecánica cuántica.. Muchos problemas conducen naturalmente a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y estos se estudian como ecuaciones diferenciales . Muchos fenómenos de la naturaleza pueden describirse mediante sistemas dinámicos ; La teoría del caos precisa las formas en que muchos de estos sistemas exhiben un comportamiento impredecible pero aún determinista .

CálculoCálculo vectorialEcuaciones diferencialesSistemas dinámicosTeoría del caosAnálisis complejo

Matemáticas Aplicadas

Las matemáticas aplicadas se preocupan por los métodos matemáticos que se utilizan normalmente en la ciencia , la ingeniería , los negocios y la industria . Por tanto, la "matemática aplicada" es una ciencia matemática con conocimientos especializados . El término matemáticas aplicadas también describe la especialidad profesional en la que los matemáticos trabajan en problemas prácticos; como profesión enfocada en problemas prácticos, las matemáticas aplicadas se enfocan en la "formulación, estudio y uso de modelos matemáticos" en ciencia, ingeniería y otras áreas de la práctica matemática.

En el pasado, las aplicaciones prácticas han motivado el desarrollo de teorías matemáticas, que luego se convirtieron en tema de estudio en matemáticas puras, donde las matemáticas se desarrollan principalmente por sí mismas. Por tanto, la actividad de las matemáticas aplicadas está vitalmente conectada con la investigación en matemáticas puras .

Estadística y otras ciencias de la decisión

Las matemáticas aplicadas tienen una superposición significativa con la disciplina de la estadística, cuya teoría se formula matemáticamente, especialmente con la teoría de la probabilidad . Los estadísticos (que trabajan como parte de un proyecto de investigación) "crean datos que tienen sentido" con muestreo aleatorio y con experimentos aleatorios ; [77] el diseño de una muestra estadística o experimento especifica el análisis de los datos (antes de que los datos estén disponibles). Al reconsiderar datos de experimentos y muestras o al analizar datos de estudios observacionales , los estadísticos "dan sentido a los datos" utilizando el arte del modelado y la teoría de la inferencia, con la selección de modelos.y estimación ; los modelos estimados y las predicciones consiguientes deben probarse con nuevos datos . [mi]

La teoría estadística estudia problemas de decisión , como minimizar el riesgo ( pérdida esperada ) de una acción estadística, como utilizar un procedimiento en, por ejemplo, la estimación de parámetros , la prueba de hipótesis y la selección del mejor . En estas áreas tradicionales de estadística matemática , un problema de decisión estadística se formula minimizando una función objetivo , como la pérdida esperada o el costo , bajo restricciones específicas: por ejemplo, diseñar una encuesta a menudo implica minimizar el costo de estimar la media de una población con un determinado nivel de confianza. [78]Debido a su uso de la optimización , la teoría matemática de la estadística comparte preocupaciones con otras ciencias de la decisión , como la investigación de operaciones , la teoría de control y la economía matemática . [79]

Matemática computacional

La matemática computacional propone y estudia métodos para resolver problemas matemáticos que suelen ser demasiado grandes para la capacidad numérica humana. El análisis numérico estudia métodos para problemas en análisis utilizando análisis funcional y teoría de aproximación ; El análisis numérico incluye el estudio de la aproximación y la discretización en general, con especial preocupación por los errores de redondeo . El análisis numérico y, más ampliamente, la computación científica también estudian temas no analíticos de la ciencia matemática, especialmente la teoría algorítmica de matrices y grafos.. Otras áreas de las matemáticas computacionales incluyen álgebra computacional y computación simbólica .

Teoría de juegoDinámica de fluidosAnálisis numéricoMejoramientoTeoría de probabilidadEstadísticasCriptografía
Finanzas matemáticasFísica matemáticaQuimica matematicaBiologia matematicaEconomía matemáticaTeoría de control

Premios matemáticos

Podría decirse que el premio más prestigioso en matemáticas es la Medalla Fields , [80] [81] establecida en 1936 y otorgada cada cuatro años (excepto alrededor de la Segunda Guerra Mundial) a hasta cuatro personas. La Medalla Fields a menudo se considera un equivalente matemático del Premio Nobel.

El Premio Wolf en Matemáticas , instituido en 1978, reconoce los logros de toda una vida, y en 2003 se instituyó otro importante premio internacional, el Premio Abel . La Medalla Chern se introdujo en 2010 para reconocer los logros de toda una vida. Estos galardones se otorgan en reconocimiento a un cuerpo de trabajo en particular, que puede ser innovador o proporcionar una solución a un problema destacado en un campo establecido.

Una famosa lista de 23 problemas abiertos , llamada " Problemas de Hilbert ", fue compilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert . Esta lista alcanzó una gran fama entre los matemáticos, y al menos nueve de los problemas ya se han resuelto. En 2000 se publicó una nueva lista de siete problemas importantes, titulada " Problemas del Premio del Milenio ". Sólo uno de ellos, la hipótesis de Riemann , duplica uno de los problemas de Hilbert. Una solución a cualquiera de estos problemas conlleva una recompensa de 1 millón de dólares. Actualmente, solo uno de estos problemas, la conjetura de Poincaré , ha sido resuelto.

Ver también

  • Olimpiada Internacional de Matemáticas
  • Listas de temas de matemáticas
  • Ciencias matematicas
  • Matemáticas y arte
  • Educación matemática
  • Museo Nacional de Matemáticas
  • Filosofía de las matemáticas
  • Relación entre matemáticas y física
  • Ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas.

Notas

  1. Ninguna semejanza o descripción de la apariencia física de Euclides realizada durante su vida sobrevivió a la antigüedad. Por lo tanto, la representación de Euclides en obras de arte depende de la imaginación del artista (ver Euclides ).
  2. ^ Vea prueba falsa para ejemplos simples de lo que puede salir mal en una prueba formal.
  3. ^ Para considerar confiable un gran cálculo que ocurre en una prueba, generalmente se requieren dos cálculos utilizando software independiente
  4. ^ El libro que contiene la prueba completa tiene más de 1,000 páginas.
  5. ^ Al igual que otras ciencias matemáticas como la física y la informática , la estadística es una disciplina autónoma más que una rama de las matemáticas aplicadas. Al igual que los físicos investigadores y los científicos informáticos, los estadísticos investigadores son científicos matemáticos. Muchos estadísticos tienen un título en matemáticas y algunos estadísticos también son matemáticos.

Referencias

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