Estructura matemática

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En matemáticas , una estructura es un conjunto dotado de algunas características adicionales en el conjunto (por ejemplo, una operación , relación , métrica o topología ). [1] A menudo, las características adicionales se adjuntan o se relacionan con el conjunto, para darle algún significado o significado adicional.

Una lista parcial de posibles estructuras son medidas , estructuras algebraicas ( grupos , campos , etc.), topologías , estructuras métricas ( geometrías ), órdenes , eventos , relaciones de equivalencia , estructuras diferenciales y categorías .

A veces, un conjunto está dotado de más de una estructura simultáneamente, lo que permite a los matemáticos estudiar la interacción entre las diferentes estructuras de manera más rica. Por ejemplo, un ordenamiento impone una forma, forma o topología rígida en el conjunto, y si un conjunto tiene tanto una estructura de topología como una estructura de grupo, de modo que estas dos estructuras están relacionadas de cierta manera, entonces el conjunto se convierte en un conjunto topológico. grupo . [2]

Las asignaciones entre conjuntos que preservan estructuras (es decir, las estructuras en el dominio se asignan a estructuras equivalentes en el codominio ) son de especial interés en muchos campos de las matemáticas. Algunos ejemplos son los homomorfismos , que conservan las estructuras algebraicas; homeomorfismos , que preservan las estructuras topológicas; [3] y difeomorfismos , que conservan estructuras diferenciales.

Historia [ editar ]

En 1939, el grupo francés con el seudónimo de Nicolas Bourbaki vio las estructuras como la raíz de las matemáticas. Primero los mencionaron en su "Fascículo" de Teoría de Conjuntos y lo expandieron en el Capítulo IV de la edición de 1957. [4] Identificaron tres estructuras madre : algebraica, topológica y de orden. [4] [5]

Ejemplo: los números reales [ editar ]

El conjunto de números reales tiene varias estructuras estándar:

  • Un orden: cada número es menor o mayor que cualquier otro número.
  • Estructura algebraica: existen operaciones de multiplicación y suma que lo convierten en un campo .
  • Una medida: los intervalos de la línea real tienen una longitud específica , que puede extenderse a la medida de Lebesgue en muchos de sus subconjuntos .
  • Una métrica: existe una noción de distancia entre puntos.
  • Una geometría: está equipada con una métrica y es plana .
  • Una topología: existe una noción de conjuntos abiertos .

Hay interfaces entre estos:

  • Su orden e, independientemente, su estructura métrica inducen su topología.
  • Su orden y estructura algebraica lo convierten en un campo ordenado .
  • Su estructura algebraica y su topología lo convierten en un grupo de Lie , un tipo de grupo topológico .

Ver también [ editar ]

  • Estructura abstracta
  • Definiciones equivalentes de estructuras matemáticas.
  • Teoría de tipos intuicionistas
  • Espacio (matemáticas)

Referencias [ editar ]

  1. ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - estructura matemática" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 9 de diciembre de 2019 .
  2. ^ Saunders, Mac Lane (1996). "Estructura en Matemáticas" (PDF) . Philosoph1A Mathemat1Ca . 4 (3): 176.
  3. ^ Christiansen, Jacob Stordal (2015). "Estructuras matemáticas" (PDF) . maths.lth.se . Consultado el 9 de diciembre de 2019 .
  4. a b Corry, Leo (septiembre de 1992). "Nicolas Bourbaki y el concepto de estructura matemática". Síntesis . 92 (3): 315–348. doi : 10.1007 / bf00414286 . JSTOR 20117057 . S2CID 16981077 .  
  5. ^ Wells, Richard B. (2010). Procesamiento de señales biológicas y neurociencia computacional (PDF) . págs. 296–335 . Consultado el 7 de abril de 2016 .

Lectura adicional [ editar ]

  • Foldes, Stephan (1994). Estructuras fundamentales de álgebra y matemáticas discretas . Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 9781118031438.
  • Hegedus, Stephen John; Moreno-Armella, Luis (2011). "La aparición de estructuras matemáticas". Estudios Educativos en Matemáticas . 77 (2): 369–388. doi : 10.1007 / s10649-010-9297-7 . S2CID  119981368 .
  • Kolman, Bernard; Busby, Robert C .; Ross, Sharon Cutler (2000). Estructuras matemáticas discretas (4ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9.
  • Malik, DS; Sen, MK (2004). Estructuras matemáticas discretas: teoría y aplicaciones . Australia: Thomson / Curso de tecnología. ISBN 978-0-619-21558-3.
  • Pudlák, Pavel (2013). "Estructuras matemáticas". Fundamentos lógicos de las matemáticas y la complejidad computacional una suave introducción . Cham: Springer. págs. 2-24. ISBN 9783319001197.
  • Senechal, M. (21 de mayo de 1993). "Estructuras matemáticas". Ciencia . 260 (5111): 1170–1173. doi : 10.1126 / science.260.5111.1170 . PMID  17806355 .

Enlaces externos [ editar ]

  • "Estructura" . PlanetMath . (proporciona una definición teórica del modelo).
  • Estructuras matemáticas en informática (revista)